خطوات استخدام البرمجة الخطية فيما يأتي بعض الخطوات الواجب اتباعها عند استخدام البرمجة الخطية: [٤] فهم المشكلة الهدف من مسائل البرمجة الخطية إيجاد طريقة لحساب الربح أو النفقات، وهي ما يسمى الهدف، وتعتمد الإجابة على مقدار المتغيرات المختارة، التي تكون محدّدة بالقيود التي تتضمّنها المشكلة. وصف الهدف الهدف هو الأمر المراد الوصول له في نهاية العملية الإنتاجية وليس خلالها، ويمكن الوصول للهدف من خلال الإجابة عن سؤال: الأمر المراد تحسينه خلال العملية الإنتاجية هل هو بهدف تقليل التكاليف، أم تعظيم الأرباح؟ والإجابة على هذا السؤال يكون الهدف. وصف القيود وصف حدود المتغيرات بالبحث عن كلمات مثل على الأقل، ليس أكثر من و ثلثي إلخ. تحديد المتغيرات يجب اختيار المتغيرات التي تعبر عن مقدار بعض الأشياء على سبيل المثال: L = مقدار عدد برامج التدريب على المقدمة. P = مقدار عدد برامج حل المشكلات المقدمة. كتابة دالة الهدف من خلال استخدام المتغيرات السابقة في كتابة تعبير جبري يصف المقدار المراد تقليله، وهنا يجب استخدام علامة المساواة فقط، إذ لا يجوز استخدام الأكبر، أو الأصغر (<أو>). كتابة القيود باستخدام المتغيرات لكل قيد يجب كتابة متباينة باستخدام المتغيرات، على سبيل المثال: إذا كان القيد استخدام 500 على الأقل، أو لا يزيد عن 29، يكون القيد الأول2.
وينصح بتوفير 170 بوصة مكعبة لكل سمكة ذهبية، و700 بوصة مكعبة لكل سمكة سلور. ويرغب عبد الله في تربية سمكة سلور واحدة على الأقل مقابل كل 4 سمكات ذهبية. افترض أن n تمثل عدد الأسماك الذهبية وc تمثل عدد أسماك السلور. والمتباينات الآتية تكون منطقة الحل لهذا الوضع: ما هو أكبر عدد من الأسماك يمكن أن يضعه عبدالله في الحوض؟ مرتفع: بنيت حديقة على شكل شبه منحرف فوق منحدر بسيط. والدالة التي تمثل ارتفاع نقط المنحدر عن مستوى سطح البحر هي: ما إحداثيات أعلى نقطة في الحديقة؟ خزف: لدى فهد 8 أيام ليصنع أواني وأطباقاً ليبيعها في معرض محلي. كتلة كل إناء 2 باوند وكتلة الطبق الواحد 1 باوند، ويمكنه الاشتراك في المعرض بأواني وأطباق لا تزيد كتلتها على 50 باونداً. ويستطيع أن يصنع في كل يوم 5 أطباق و3 أواني على الأكثر. ويربح 12 ريالاً لكل طبق و 25 ريالاً لكل إناء سيبيعه. اكتب متباين خطية تمثل عدد الأواني (P) وعدد الأطباق (n)، التي يستطيع أن يحضرها فهد إلى المعرض. اكتب إحداثيات رؤوس منطقة الحل. ما عدد الأطباق والأواني التي يتعين أن يصنعها فهد ليجعل ربحه أكبر ما يمكن؟ التدريبات الإثرائية تحليل الحساسية (الدقة) يحتوي نموذج البرمجة الخطية على معاملات هدف محدد.
لكن في عام 1979م اقترح عالم روسي كاشيان (Khachian) طريقة جديدة لحل البرامج الرياضية الخطية بتعقيدية جبرية (O(n7L حيث n ترمز إلى عدد متحولات القرار و L ترمز إلى عدد البتات bits اللازمة لتوصيف معطيات الدخل للمسألة الخطية (c, b, A) وهذه الطريقة تعرف بطريقة القطوع الناقصة. إن هذه الطريقة مبنية بناء رياضياً مبدعاً، وهي تتفوق على طريقة السمبلكس نظرياً، لكن في المسائل العملية بقيت السمبلكس أكثر استعمالاً وموثوقية، لأن طريقة كاشيان لم تعط نتائج أكثر دقة وقناعة في المسائل العملية الحقيقية. في عام 1984م حصل تحول كبير في البرمجة الخطية، إذ نشر العالم الأمريكي كارماركار (Karmarkar) طريقتة الشهيرة ذات التعقيدية الجبرية (O(n3. 5L وعلى ما يبدو، هذه الطريقة واعدة إذ عولج بها كثير من المسائل التطبيقية، ولا سيما في البحوث البترولية، وأعطت نتائج ممتازة. لكن مع كل هذا سيبقى أمام طريقة السمبلكس أيضاً أيام جميلة بسبب سهولتها الفائقة. مثال1: مسألة المزج يراد تحضير منتج ذي تركيب معين بحيث تحتوي الواحدة منه على الكميات (bi(i=1,..., m من العناصر (Bi(i=1,..., m كحد أدنى ويمكن تحضير هذا المنتج من المواد (Aj(j=1,..., n حيث تحتوي الواحدة من Aj على الكمية aij من العنصر Bi وتكلف الواحدة من Aj المبلغ cj ويراد تحضير هذا المنتج بأقل كلفة ممكنة.
يصاغ البرنامج الخطي لهذه المسألة على الشكل التالي: مثال2: مسألة التنظيم الغذائي اقترح طبيب على مريضه أن يتناول يومياً كحد أدنى كميات معينة bi من فيتامينات أو مقويات أساسية i=1, 2,..., m)Bi) ضرورية لجسمه. يريد هذا المريض أن يحصل على هذه الفيتامينات بتناوله الخضراوات والفواكه المتوفرة في الأسواق المحلية ولنرمز لهذه المواد بـ (Aj(j=1,..., n. لنفترض أن ثمن الوحدة الواحدة (مقدرة بـ غ أو كغ أو.... الخ) من المادة Aj هو cj وحدة نقدية حيث تحتوي هذه الوحدة على الكمية aij من الفيتامين الأساسي الأول Bi و a2j من الفيتامين الأساسي الثاني B2 وهكذا... والمطلوب في هذه المسألة تحديد الكميات (xj(j=1,..., n الواجب تناولها من المواد الغذائية من قبل المريض للحصول على تنظيم غذائي صحيح يحقق طلب الطبيب من جهة وبأقل التكاليف من جهة أخرى. مثال3: مسألة تنظيم الإنتاج لنفترض أن معملاً ينتج الأنواع (Aj(j=1,..., n من مادة معينة قابلة للتسويق، حيث يجري في عملية الإنتاج استخدام المواد الأولية (Bi(i=1,..., m المتوفر منها في المعمل وفي الوقت الحاضر الكميات (bi(i=1,..., m. إذا كانت الوحدة الواحدة من المنتج Aj تستهلك من المادة الأولية Bi الكمية aij وإذا كان الربح الصافي من إنتاج تلك الوحدة هو فالمطلوب تنظيم الإنتاج بحيث يحقق المعمل ربحاً أعظمياً.
ما أقل عدد من الساعات يحتاجها المصنع لإنتاج 380 قطعة من الحلوى, على ألاً تزيد التكلفة عن 108 ريالات؟ مثل كلاً من أنظمة المتباينات الأتية بيانياً, ثم حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل،وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة المعطاة. صناعة: ينتج أحد المصانع إطارات داخلية وإطارات خارجية. افترض أن x تمثل عدد الإطارات الداخلية المصنعة في الساعة الواحدة، وأن y تمثل عدد الإطارات الخارجية المصنعة في الساعة الواحدة. إن المتباينات: استعمل دالة الربح والقيود المعطاة لتحديد أقصى ربح يحققه المصنع. تدريبات حل المسألة مناطق: تحدد منطقة على الخريطة عن طريق المتباينات فهل هذه المنطقة محدودة أم لا؟ فسر ذلك. صناعة: يعمل ثمانون عاملاً في تجميع الطاولات والكراسي. ويتطلب العمل 5 عمال لتجميع الطاولة و3 عمال لتجميع الكرسي. ويصنع العمال عدداً من الطاولات يساوي عدد الكراسي على الأقل دائماً. إذا كانت x تمثل عدد الطاولات، y تمثل عدد الكراسي، ونظام المتباينات الذي يمثل ما يمكنهم تجميعه هو: ما أكبر عدد من الكراسي والطاولات يستطيع العمال صنعه؟ أسماك: حوض أسماك حجمه 7000 بوصة مكعبة. ويريد عبدالله أن يربي في الحوض نوعين من السمك وهما السمكة الذهبية وسمكة السلور.