فيمثل الناتج القومي الأعظم لبلدان ثمانية بشكل مجموعة مرتبة مثلا (v1، v2، v3، v4، v5، v6، v7، v8). وبالنسبة للفضاء الشعاعي أو الفضاء الخطي كمصطلح تجريدي فيمكن صياغة مبرهنات حوله، حيث يمكن اعتباره قسما من جبر الجبر التجريدي حيث ينسجم تماما مع ذلك الفرع من الدراسة. من أمثلة ذلك زمرة ال مصفوفة مصفوفات وحلقة الخرائط الخطية للفضاء الشعاعي.
بدأ جبر الجبر الخطي بدراسة المتجهات في الفضاءات الديكارتية ثنائية وثلاثية الأبعاد. ويمثل المتجه هنا قطعة مستقيمة موجهة تتميز بكلا من طولها (شدتها) واتجاهها. يمكن أن تستعمل المتجهات لتمثيل كميات فيزيائية مثل القوى، كما يمكن أن تطبق عليها عمليات الجمع والطرح والضرب (بأنواعه الداخلي والخارجي) وبهذا شكلت أول مثال عن الفضاء الشعاعي الحقيقي. تمدد الجبر الخطي الحديث ليأخذ في الاعتبار فضاءات ذات أبعاد لا نهائية. يمكن دراسة فضاء شعاعي به نون (n) من الأبعاد ويدعى الفضاء النوني. العنصر المحايد في عملية الجمع هو – الملف. يمكن التوسع في استخدام معظم النتائج التي نتجت عن دراسة الفضاءات ثنائية وثلاثية الأبعاد بالنسبة للفضاءات الأكثر أبعادا. يصعب غالبا تخيل أشعة نونية البعد لكن مثل هذه الأشعة يمكن اعتبارها عبارة عن مجموعات مرتبة نونية مفيدة في تمثيل البيانات التي يُراد معالجتها في الكثير من العلوم. فالأشعة عبارة عن قائمة عناصر (مكونات) مرتبة، من الممكن تلخيص ومعالجة البيانات بشكل فعال ضمن هذا الأسلوب التجريدي من المعالجات. مثلا في علم اقتصاد الاقتصاد ، يمكن للمرء أن يستعمل فضاءات شعاعية ثمانية الأبعاد أي مجموعات مرتبة ثمانية (8-tuples) ليمثل ناتج قومي إجمالي الناتج القومي الأعلى لثمانية بلدان مختلفة.
إذن، فإنه من الممكن عدم إيجاد حلول للمعادلة السابقة الذكر إذا كان العدد خ» ينتمي إلى المجموعة R. ولهذا السبب، تدرس الفضاءات المتجهية عادة في حقل مغلق جبريا حقول مغلقة جبريا ، عدد مركب مجموعة الأعداد العقدية مثالا. التحويلات الخطية T V o W T(u+v) T(u)+T(v), quad T(av) aT(v) نظرية المصفوفات مقال تفصيلي مصفوفة الفضاءات المعرف عليها جداء داخلي بشكل رسمي، جداء داخلي هو تطبيق langle cdot, cdot angle V imes V ightarrow mathbf F يحقق بديهية الموضوعات الثلاثة الآتية بالنسبة إلى كل ثلاث متجهات u و v و w في V وبالنسبة إلى كل عدد a من F التماثل مرافق عدد مركب المرافق langle u, v angle overline langle v, u angle. لاحظ أن هاته النقطة صحيحة عندما يكون F هو مجموعة عدد حقيقي الأعداد الحقيقية R. خطية الخطية لدى المدخل الأول langle au, v angle a langle u, v langle u+v, w angle langle u, w angle+ langle v, w كونها موجبة عند تساوي المدخلين langle v, v angle geq 0 مع تحقق التساوي فقط حين يساوي v صفرا. العنصر المحايد في عملية الجمع هو الصفر. حل المعادلات الخطية مقال تفصيلي نظام معادلات خطية egin at 7 2x && + && y && - && z && && 8 & qquad (L_1) \ -3x && - && y && + && 2z && && -11 & qquad (L_2) \ -2x && + && y && + && 2z && && -3 & qquad (L_3) end at انظر إلى مصفوفة مثلثية.
يعتبر أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي مؤسس علم الجبر حيث عرض في كتابه حساب الجبر والمقابلة أو الجبر أول حل منهجي للمعادلات الخطية والتربيعية. المختصر في حساب الجبر والمقابلة هو كتاب رياضي كتب حوالي عام 830 م. ومصطلح الجبر مشتق من اسم إحدى العمليات الأساسية مع المعادلات التي وصفت في هذا الكتاب. ترجم الكتابَ إلى اللاتينية تحت عنوان Liber algebrae et almucabala، روبرت تشستر (سيغوفيا، 1145)، وأيضا ترجمه جيرارد أوف كريمونا. وتوجد نسخة عربية فريدة محفوظة في أوكسفورد ترجمها عام 1831 إف روزين. كيف يمكنك تحول ثمانية ثمانيات إلى 1000 بإستخدام عملية الجمع فقط بينهم - الفكر الواعي. وتوجد ترجمة لاتينية محفوظة في كامبريج. انبثقت دراسة الجبر الخطي لأول مرة من دراسة محدد المحددات ، التي كانت تُستعمل في حلحلة نظم المعادلات الخطية. استعملت المحددات من طرف غوتفريد لايبنتس لايبنز في عام 1693، وفيما بعد، استخلص غابرييل كرامر قاعدة كرامر التي تمكن من حلحلة الأنظمة الخطية. كان ذلك عام 1750. بعد ذلك، عمل كارل فريدريش غاوس غاوس في نظرية حلحلة الأنظمة الخطية باستعمال طريقة حذف غاوسي الحذف الغاوسي ، التي نُظر إليها في البداية كتطور في جدس الجيوديسيا. ظهرت دراسة المصفوفات لأول مرة في انجلترا، وكان ذلك في بدايات القرن التاسع عشر.